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高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案（精選10篇）
作為一位不辭辛勞的人民教師，往往需要進(jìn)行教案編寫工作，教案有助于順利而有效地開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)。那要怎么寫好教案呢？下面是小編為大家收集的高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案，歡迎大家借鑒與參考，希望對(duì)大家有所幫助。
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案 1
證明數(shù)列是等比數(shù)列
an=(2a-6b)n+6b
當(dāng)此數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，顯然是常數(shù)列，即2a-6b=0
這個(gè)是顯然的東西，但是我不懂怎么證明
常數(shù)列嗎.所以任何一個(gè)K和M都應(yīng)該有ak=amak=(2a-6b)k+6b am=(2a-6b)m+6bak-am=(2a-6b)(k-m)因?yàn)閍k-am恒為0k m任意所以一定有2a-6b=0即a=3b
補(bǔ)充回答：題目條件看錯(cuò),再證明當(dāng)此數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)
2a-6b=0
因?yàn)榈缺萢3:a2=a2:a1
即(6a-12b)-2a=(4a-6b)^2
a^2-6ab+9b^2=0
即(a-3b)^2=0
所以肯定有a=3b成立
2
數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明
(1)(Sn/n)是等比數(shù)列
(2) S(n+1)=4an
1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn
即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn
nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn
nS(n+1)=(2n+2)Sn
S(n+1)/(n+1)=2Sn/n
即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2
S1/1=A1=1
所以Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列
2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列
所以Sn/n的通項(xiàng)公式是Sn/n=1-2^(n-1)
即Sn=n2^(n-1)
那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
An=Sn-S(n-1)
=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)
=n-2-2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)
=[2n-(n-1)]-2^(n-2)
=(n+1)2^(n-2)
=(n+1)-2^n/2^2
=(n+1)2^n/4
=S(n+1)/4
所以有S(n+1)=4An
a(n)-a(n-1)=2(n-1)
上n-1個(gè)式子相加得到：
an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)
右邊是等差數(shù)列，且和=[2+2(n-1)](n-1)/2=n(n-1)
所以：
an-2=n^2-n
an=n^2-n+2
4、
已知數(shù)列{3-2的'N此方}，求證是等比數(shù)列
根據(jù)題意，數(shù)列是3-2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...
為了驗(yàn)證它是等比數(shù)列只需要比較任何一項(xiàng)和它相鄰項(xiàng)的比值是一個(gè)不依賴項(xiàng)次的固定比值就可以了.
所以第n項(xiàng)和第n+1項(xiàng)分別是3-2^n和3-2^(n+1),相比之后有:
[3-2^(n+1)]/(3-2^n)=2
因?yàn)楸戎凳?,不依賴n的選擇,所以得到結(jié)論.
5
數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明
(1)(Sn/n)是等比數(shù)列
(2) S(n+1)=4an
1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn
即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn
nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn
nS(n+1)=(2n+2)Sn
S(n+1)/(n+1)=2Sn/n
即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2
S1/1=A1=1
所以Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列
2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列
所以Sn/n的通項(xiàng)公式是Sn/n=1-2^(n-1)
即Sn=n2^(n-1)
那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
An=Sn-S(n-1)
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案 2
一、課前檢測(cè)
1.在數(shù)列{an}中，an=1n+1+2n+1++nn+1，又bn=2anan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.
解：由已知得：an=1n+1(1+2+3++n)=n2，
bn=2n2n+12=8(1n-1n+1) 數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為
Sn=8[(1-12)+(12-13)+(13-14)++(1n-1n+1)]=8(1-1n+1)=8nn+1.
2.已知在各項(xiàng)不為零的數(shù)列 中， 。
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng);
(2)若數(shù)列 滿足 ，數(shù)列 的前 項(xiàng)的和為 ，求
解：(1)依題意， ，故可將 整理得：
所以 即
，上式也成立，所以
(2)
二、知識(shí)梳理
(一)前n項(xiàng)和公式Sn的定義：Sn=a1+a2+an。
(二)數(shù)列求和的方法(共8種)
5.錯(cuò)位相減法：適用于差比數(shù)列(如果 等差， 等比，那么 叫做差比數(shù)列)即把每一項(xiàng)都乘以 的公比 ，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。
如：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的
解讀：
6.累加(乘)法
解讀：
7.并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.
形如an=(-1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求。
解讀：
8.其它方法：歸納、猜想、證明;周期數(shù)列的求和等等。
解讀：
三、典型例題分析
題型1 錯(cuò)位相減法
例1 求數(shù)列 前n項(xiàng)的和.
解：由題可知{ }的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{ }的通項(xiàng)之積
設(shè) ①
�、� (設(shè)制錯(cuò)位)
�、�-②得 (錯(cuò)位相減)
變式訓(xùn)練1 (20xx昌平模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3++3n-1an=n3，nN*.
(1)求數(shù)列{an}的.通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解：(1)∵a1+3a2+32a3++3n-1an=n3， ①
當(dāng)n2時(shí)，a1+3a2+32a3++3n-2an-1=n-13. ②
�、�-②得3n-1an=13，an=13n.
在①中，令n=1，得a1=13，適合an=13n， an=13n.
(2)∵bn=nan，bn=n3n.
Sn=3+232+333++n 3n， ③
3Sn=32+233+334++n 3n+1. ④
�、�-③得2Sn=n 3n+1-(3+32+33++3n)，
即2Sn=n 3n+1-3(1-3n)1-3， Sn=(2n-1)3n+14+34.
小結(jié)與拓展：
題型2 并項(xiàng)求和法
例2 求 =1002-992+982-972++22-12
解： =1002-992+982-972++22-12=(100+ 99)+(98+97)++(2+1)=5050.
變式訓(xùn)練2 數(shù)列{(-1)nn}的前20xx項(xiàng)的和S2 010為( D )
A.-20xx B.-1005 C.20xx D.1005
解：S2 010=-1+2-3+4-5++2 008-2 009+2 010
=(2-1)+(4-3)+(6-5)++(2 010-2 009)=1 005.
小結(jié)與拓展：
題型3 累加(乘)法及其它方法：歸納、猜想、證明;周期數(shù)列的求和等等
例3 (1)求 之和.
(2)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積等于Tn= (nN*)，
，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn中最大的一項(xiàng)是( D )
A.S6 B.S5 C.S4 D.S3
解：(1)由于 (找通項(xiàng)及特征)
= (分組求和)= =
=
(2)D.
變式訓(xùn)練3 (1)(20xx福州八中)已知數(shù)列 則 , 。答案：100. 5000。
(2)數(shù)列 中， ，且 ，則前20xx項(xiàng)的和等于( A )
A.1005 B.20xx C.1 D.0
小結(jié)與拓展：
四、歸納與總結(jié)(以學(xué)生為主，師生共同完成)
以上一個(gè)8種方法雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使
其能進(jìn)行消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來(lái)解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案 3
數(shù)列
§3.1.1數(shù)列、數(shù)列的通項(xiàng)公式目的：要求學(xué)生理解數(shù)列的概念及其幾何表示，理解什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式，給出一些數(shù)列能夠?qū)懗銎渫?xiàng)公式，已知通項(xiàng)公式能夠求數(shù)列的項(xiàng)。
重點(diǎn)：1數(shù)列的概念。按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的通項(xiàng)(或一般項(xiàng))。由數(shù)列定義知：數(shù)列中的數(shù)是有序的，數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，這與數(shù)集中的數(shù)的無(wú)序性、互異性是不同的。
2.數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果數(shù)列{an}的通項(xiàng)an可以用一個(gè)關(guān)于n的公式來(lái)表示，這個(gè)公式就叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式。從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成是定義域?yàn)檎麛?shù)集N-(或?qū)挼挠邢拮蛹?的函數(shù)。當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時(shí)對(duì)自學(xué)成才的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式則是相應(yīng)的解析式。由于數(shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值，序號(hào)是自變量，所以以序號(hào)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)畫(huà)出的`圖像是一些孤立的點(diǎn)。難點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)的特點(diǎn)，以現(xiàn)規(guī)律后寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式。給出數(shù)列的前若干項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般比較困難，且有的數(shù)列不一定有通項(xiàng)公式，如果有通項(xiàng)公式也不一定唯一。給出數(shù)列的前若干項(xiàng)要確定其一個(gè)通項(xiàng)公式，解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是找出已知的每一項(xiàng)與其序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后抽象成一般形式。過(guò)程：一、從實(shí)例引入(P110)1.堆放的鋼管4,5,6,7,8,9,102.正整數(shù)的倒數(shù)
3. 4. -1的正整數(shù)次冪：-1,1,-1,1,…
5.無(wú)窮多個(gè)數(shù)排成一列數(shù)：1,1,1,1,…
二、提出課題：數(shù)列
1.數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)(數(shù)列的有序性)
2.名稱：項(xiàng)，序號(hào)，一般公式，表示法
3.通項(xiàng)公式：與之間的函數(shù)關(guān)系式如數(shù)列1：數(shù)列2：數(shù)列4：
4.分類：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列;常數(shù)列;擺動(dòng)數(shù)列;有窮數(shù)列、無(wú)窮數(shù)列。
5.實(shí)質(zhì)：從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N-(或它的有限子集{1，2，…，n})的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，通項(xiàng)公式即相應(yīng)的函數(shù)解析式。
6.用圖象表示：—是一群孤立的點(diǎn)例一(P111例一略)
三、關(guān)于數(shù)列的通項(xiàng)公式1.不是每一個(gè)數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式(如數(shù)列3)
2.數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一如：數(shù)列4可寫成和
3.已知通項(xiàng)公式可寫出數(shù)列的任一項(xiàng)，因此通項(xiàng)公式十分重要例二(P111例二)略
四、補(bǔ)充例題：寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前項(xiàng)分別是下列各數(shù)：1.1，0，1，0. 2.，3.7，77，777，7777 4.-1，7，-13，19，-25，31 5.，
五、小結(jié)：1.數(shù)列的有關(guān)概念2.觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式
六、作業(yè)：練習(xí)P112習(xí)題3.1(P114)1、2
七、練習(xí)：1.觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，關(guān)寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式;(1)，( )，…(2)，( )，…
2.寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(1)1、 、 、 ; (2) 、 、 、 ; (3) 、 、 、 ; (4) 、 、 、 。
3.求數(shù)列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一個(gè)通項(xiàng)公式
4.已知數(shù)列an的前4項(xiàng)為0，0，則下列各式①an= ②an= ③an=其中可作為數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③
5.已知數(shù)列1，3，…，…，則是這個(gè)數(shù)列的( ) A.第10項(xiàng)B.第11項(xiàng)C.第12項(xiàng)D.第21項(xiàng)
6.在數(shù)列{an}中a1=2,a17=66,通項(xiàng)公式或序號(hào)n的一次函數(shù)，求通項(xiàng)公式。
7.設(shè)函數(shù)( )，數(shù)列{an}滿足(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性。
8.在數(shù)列{an}中，an=(1)求證：數(shù)列{an}先遞增后遞減;(2)求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)。答案：1. (1)，an= (2)，an= 2.(1)an= (2)an= (3)an= (4)an= 3.an=或an=這里借助了數(shù)列1，0，1，0，1，0…的通項(xiàng)公式an=。4.D 5.B 6. an=4n-2
7.(1)an= (2)<1又an<0, ∴是遞增數(shù)列
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案 4
2.2.1等差數(shù)列學(xué)案
一、預(yù)習(xí)問(wèn)題：
1、等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從 起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè) ，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ， 通常用字母 表示。
2、等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù) 組成等差數(shù)列，那么A叫做 與 的 ，
即 或 。
3、等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列的公差 時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列; 時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列; 時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列;等差數(shù)列不可能是 。
4、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： 。
5、判斷正誤：
�、�1，2，3，4，5是等差數(shù)列; （ ）
�、�1，1，2，3，4，5是等差數(shù)列; （ ）
③數(shù)列6，4，2，0是公差為2的`等差數(shù)列; （ ）
�、軘�(shù)列 是公差為 的等差數(shù)列; （ ）
⑤數(shù)列 是等差數(shù)列; （ ）
�、奕� ，則 成等差數(shù)列; （ ）
⑦若 ，則數(shù)列 成等差數(shù)列; （ ）
�、嗟炔顢�(shù)列是相鄰兩項(xiàng)中后項(xiàng)與前項(xiàng)之差等于非零常數(shù)的數(shù)列; （ ）
⑨等差數(shù)列的公差是該數(shù)列中任何相鄰兩項(xiàng)的差。 （ ）
6、思考：如何證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列。
二、實(shí)戰(zhàn)操作：
例1、（1）求等差數(shù)列8，5，2，的第20項(xiàng)。
�。�2） 是不是等差數(shù)列 中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？
�。�3）已知數(shù)列 的公差 則
例2、已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ，其中 為常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？
例3、已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為 求這5個(gè)數(shù)。
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案 5
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面，學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)一步深入和拓廣。同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了學(xué)習(xí)對(duì)比的依據(jù)。
2、教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)教學(xué)大綱的要求和學(xué)生的實(shí)際水平，確定了本次課的教學(xué)目標(biāo)
a在知識(shí)上：理解并掌握等差數(shù)列的概念；了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程及思想；初步引入“數(shù)學(xué)建�！钡乃枷敕椒ú⒛苓\(yùn)用。
b在能力上：培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力；在領(lǐng)會(huì)函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來(lái)研究數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)、方法遷移能力；通過(guò)階梯性練習(xí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
c在情感上：通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的研究，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣。
3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
根據(jù)教學(xué)大綱的要求我確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為:
�、俚炔顢�(shù)列的概念。
�、诘炔顢�(shù)列的通項(xiàng)公式的。推導(dǎo)過(guò)程及應(yīng)用。
由于學(xué)生第一次接觸不完全歸納法，對(duì)此并不熟悉因此用不完全歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列的同項(xiàng)公式是這節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)。同時(shí)，學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)建�！钡乃枷敕椒ㄝ^為陌生，因此用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題是本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)。
二、學(xué)情教法分析：
對(duì)于三中的高一學(xué)生，知識(shí)經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運(yùn)演階段，具備了教強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力，所以我在授課時(shí)注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。
針對(duì)高中生這一思維特點(diǎn)和心理特征，本節(jié)課我采用啟發(fā)式、討論式以及講練結(jié)合的教學(xué)方法，通過(guò)問(wèn)題激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，以獨(dú)立思考和相互交流的形式，在教師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題。
三、學(xué)法指導(dǎo)：
在引導(dǎo)分析時(shí)，留出學(xué)生的思考空間，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見(jiàn)，把思路方法和需要解決的問(wèn)題弄清。
四、教學(xué)程序
本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程由
（一)復(fù)習(xí)引入
�。ǘ┬抡n探究
�。ㄈ⿷�(yīng)用舉例
（四）反饋練習(xí)
�。ㄎ澹w納小結(jié)
(六）布置作業(yè)，六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)構(gòu)成。
�。ㄒ唬⿵�(fù)習(xí)引入：
1、從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可看作是定義域?yàn)開(kāi)_________對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的______。（N﹡；解析式）
通過(guò)練習(xí)1復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容，為本節(jié)課用函數(shù)思想研究數(shù)列問(wèn)題作準(zhǔn)備。
2、小明目前會(huì)100個(gè)單詞，他她打算從今天起不再背單詞了，結(jié)果不知不覺(jué)地每天忘掉2個(gè)單詞，那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞減為：100，98，96，94，92 ①
3、 小芳只會(huì)5個(gè)單詞，他決定從今天起每天背記10個(gè)單詞，那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞增為5，10，15，20，25 ②
通過(guò)練習(xí)2和3引出兩個(gè)具體的等差數(shù)列，初步認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的特征，為后面的概念學(xué)習(xí)建立基礎(chǔ)，為學(xué)習(xí)新知識(shí)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情站境，激發(fā)學(xué)生的求知欲。由學(xué)生觀察兩個(gè)數(shù)列特點(diǎn)，引出等差數(shù)列的概念，對(duì)問(wèn)題的總結(jié)又培養(yǎng)學(xué)生由具體到抽象、由特殊到一般的認(rèn)知能力。
�。ǘ� 新課探究
1、由引入自然的給出等差數(shù)列的概念：
如果一個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)開(kāi)始它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差都等于同一常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來(lái)表示。強(qiáng)調(diào)：
① “從第二項(xiàng)起”滿足條件；
�、诠頳一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得；
�、勖恳豁�(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差必須是同一個(gè)常數(shù)（強(qiáng)調(diào)“同一個(gè)常數(shù)” ）；
在理解概念的基礎(chǔ)上，由學(xué)生將等差數(shù)列的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，歸納出數(shù)學(xué)表達(dá)式：
an+1-an=d (n≥1)同時(shí)為了配合概念的理解，我找了5組數(shù)列，由學(xué)生判斷是否為等差數(shù)列，是等差數(shù)列的找出公差。
1、 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-1
2、 0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01
3、 0，0，0，0，0，0，……。； √ d=0
4、 1，2，3，2，3，4，……；×
5、 1，0，1，0，1，……×
其中第一個(gè)數(shù)列公差<0,>0,第三個(gè)數(shù)列公差=0
由此強(qiáng)調(diào)：公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0
2、第二個(gè)重點(diǎn)部分為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
在歸納等差數(shù)列通項(xiàng)公式中，我采用討論式的教學(xué)方法，《高中數(shù)學(xué)說(shuō)課稿：等差數(shù)列》。給出等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差d，由學(xué)生研究分組討論a4的通項(xiàng)公式。通過(guò)總結(jié)a4的通項(xiàng)公式由學(xué)生猜想a40的通項(xiàng)公式，進(jìn)而歸納an的通項(xiàng)公式。整個(gè)過(guò)程由學(xué)生完成，通過(guò)互相討論的方式既培養(yǎng)了學(xué)生的協(xié)作意識(shí)又化解了教學(xué)難點(diǎn)。
若一等差數(shù)列{an }的首項(xiàng)是a1,公差是d,則據(jù)其定義可得：
a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d
a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d
……
猜想: a40 = a1 +39d，進(jìn)而歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：
an=a1+(n-1)d
此時(shí)指出：這種求通項(xiàng)公式的辦法叫不完全歸納法，這種導(dǎo)出公式的方法不夠嚴(yán)密，為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項(xiàng)公式的辦法------迭加法：
a2 – a1 =d
a3 – a2 =d
a4 – a3 =d
……
an – an-1=d
將這(n-1)個(gè)等式左右兩邊分別相加，就可以得到 an– a1= (n-1) d即 an= a1+(n-1) d (1)
當(dāng)n=1時(shí)，(1)也成立，所以對(duì)一切n∈N﹡，上面的公式都成立
因此它就是等差數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式。
在迭加法的證明過(guò)程中，我采用啟發(fā)式教學(xué)方法。
利用等差數(shù)列概念啟發(fā)學(xué)生寫出n-1個(gè)等式。
對(duì)照已歸納出的通項(xiàng)公式啟發(fā)學(xué)生想出將n-1個(gè)等式相加。證出通項(xiàng)公式。
在這里通過(guò)該知識(shí)點(diǎn)引入迭加法這一數(shù)學(xué)思想，逐步達(dá)到“注重方法，凸現(xiàn)思想” 的教學(xué)要求
接著舉例說(shuō)明：若一個(gè)等差數(shù)列{an｝的首項(xiàng)是1，公差是2，得出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是：an=1+(n-1)×2 ，即an=2n-1 以此來(lái)鞏固等差數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用
同時(shí)要求畫(huà)出該數(shù)列圖象，由此說(shuō)明等差數(shù)列是關(guān)于正整數(shù)n一次函數(shù)，其圖像是均勻排開(kāi)的無(wú)窮多個(gè)孤立點(diǎn)。用函數(shù)的思想來(lái)研究數(shù)列，使數(shù)列的性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚。
�。ㄈ⿷�(yīng)用舉例
這一環(huán)節(jié)是使學(xué)生通過(guò)例題和練習(xí)，增強(qiáng)對(duì)通項(xiàng)公式含義的理解以及對(duì)通項(xiàng)公式的運(yùn)用，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。通過(guò)例1和例2向?qū)W生表明：要用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看等差數(shù)列通項(xiàng)公式中的a1、d、n、an這4個(gè)量之間的.關(guān)系。當(dāng)其中的部分量已知時(shí)，可根據(jù)該公式求出另一部分量。
例1 (1)求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng)；第30項(xiàng)；第40項(xiàng)
(2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？
在第一問(wèn)中我添加了計(jì)算第30項(xiàng)和第40項(xiàng)以加強(qiáng)鞏固等差數(shù)列通項(xiàng)公式；第二問(wèn)實(shí)際上是求正整數(shù)解的問(wèn)題，而關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式an.
例2 在等差數(shù)列{an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首項(xiàng)a1與公差d。
在前面例1的基礎(chǔ)上將例2當(dāng)作練習(xí)作為對(duì)通項(xiàng)公式的鞏固
例3 是一個(gè)實(shí)際建模問(wèn)題
建造房屋時(shí)要設(shè)計(jì)樓梯，已知某大樓第2層的樓底離地面的高度為3米，第三層離地面5.8米，若樓梯設(shè)計(jì)為等高的16級(jí)臺(tái)階，問(wèn)每級(jí)臺(tái)階高為多少米？
這道題我采用啟發(fā)式和討論式相結(jié)合的教學(xué)方法。啟發(fā)學(xué)生注意每級(jí)臺(tái)階“等高”使學(xué)生想到每級(jí)臺(tái)階離地面的高度構(gòu)成等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生將該實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型------等差數(shù)列：（學(xué)生討論分析，分別演板，教師評(píng)析問(wèn)題。問(wèn)題可能出現(xiàn)在：項(xiàng)數(shù)學(xué)生認(rèn)為是16項(xiàng)，應(yīng)明確a1為第2層的樓底離地面的高度，a2表示第一級(jí)臺(tái)階離地面的高度而第16級(jí)臺(tái)階離地面高度為a17，可用課件展示實(shí)際樓梯圖以化解難點(diǎn)）。
設(shè)置此題的目的：1.加強(qiáng)同學(xué)們對(duì)應(yīng)用題的綜合分析能力，2.通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題引出等差數(shù)列問(wèn)題，激發(fā)了學(xué)生的興趣；3.再者通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)例展示了“從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)經(jīng)抽象概括建立數(shù)學(xué)模型，最后還原說(shuō)明實(shí)際問(wèn)題的“數(shù)學(xué)建�！钡臄�(shù)學(xué)思想方法
�。ㄋ模┓答伨毩�(xí)
1、小節(jié)后的練習(xí)中的第1題和第2題（要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成）。目的：使學(xué)生熟悉通項(xiàng)公式，對(duì)學(xué)生進(jìn)行基本技能訓(xùn)練。
2、書(shū)上例3)梯子的最高一級(jí)寬33cm，最低一級(jí)寬110cm，中間還有10級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列。計(jì)算中間各級(jí)的寬度。
目的：對(duì)學(xué)生加強(qiáng)建模思想訓(xùn)練。
3、若數(shù)例{an} 是等差數(shù)列，若 bn = k an ，（k為常數(shù)）試證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列
此題是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)列問(wèn)題提高訓(xùn)練，學(xué)習(xí)如何用定義證明數(shù)列問(wèn)題同時(shí)強(qiáng)化了等差數(shù)列的概念。
�。ㄎ�)歸納小結(jié)(由學(xué)生總結(jié)這節(jié)課的收獲）
1、等差數(shù)列的概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式。
強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵字：從第二項(xiàng)開(kāi)始它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差都等于同一常數(shù)
2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an= a1+(n-1) d會(huì)知三求一
3、用“數(shù)學(xué)建�！彼枷敕椒ń鉀Q實(shí)際問(wèn)題
�。┎贾米鳂I(yè)
必做題：課本P114 習(xí)題3.2第2，6 題
選做題：已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=-24，從第10項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，求公差d的取值范圍。
�。康模和ㄟ^(guò)分層作業(yè)，提高同學(xué)們的求知欲和滿足不同層次的學(xué)生需求）
五、板書(shū)設(shè)計(jì)
在板書(shū)中突出本節(jié)重點(diǎn)，將強(qiáng)調(diào)的地方如定義中，“從第二項(xiàng)起”及“同一常數(shù)”等幾個(gè)字用紅色粉筆標(biāo)注，同時(shí)給學(xué)生留有作題的地方，整個(gè)板書(shū)充分體現(xiàn)了精講多練的教學(xué)方法。
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案 6
教學(xué)目標(biāo)：明確等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，會(huì)解決知道an,a1,d,n中的三個(gè)，求另外一個(gè)的問(wèn)題;培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，進(jìn)一步提高學(xué)生推理、歸納能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).
教學(xué)重點(diǎn)：1.等差數(shù)列的概念的理解與掌握. 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列“等差”特點(diǎn)的理解、把握和應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程：
Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧上兩節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義及給出數(shù)列的`兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式.這兩個(gè)公式從不同的角度反映數(shù)列的特點(diǎn)，下面我們看這樣一些例子
�、�.講授新課10，8，6，4，2，…; 21，21，22，22，23，23，24，24，25 2，2，2，2，2，…首先，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察這些數(shù)列有什么共同的特點(diǎn)?是否可以寫出這些數(shù)列的通項(xiàng)公式?(引導(dǎo)學(xué)生積極思考，努力尋求各數(shù)列通項(xiàng)公式，并找出其共同特點(diǎn))它們的共同特點(diǎn)是：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的“差”都等于同一個(gè)常數(shù).也就是說(shuō)，這些數(shù)列均具有相鄰兩項(xiàng)之差“相等”的特點(diǎn).具有這種特點(diǎn)的數(shù)列，我們把它叫做等差數(shù)列.
1.定義等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得.若一等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得：(n-1)個(gè)等式若將這n-1個(gè)等式左右兩邊分別相加，則可得：an-a1=(n-1)d即：an=a1+(n-1)d當(dāng)n=1時(shí)，等式兩邊均為a1，即上述等式均成立，則對(duì)于一切n∈N-時(shí)上述公式都成立，所以它可作為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.看來(lái)，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)a1和公差d,便可求得其通項(xiàng).由通項(xiàng)公式可類推得：am=a1+(m-1)d，即：a1=am-(m-1)d，則：an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d.如：a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d
請(qǐng)同學(xué)們來(lái)思考這樣一個(gè)問(wèn)題.如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a、A、b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件?由等差數(shù)列定義及a、A、b成等差數(shù)列可得：A-a=b-A，即：a=.反之，若A=，則2A=a+b，A-a=b-A，即a、A、b成等差數(shù)列.總之，A= a，A，b成等差數(shù)列.如果a、A、b成等差數(shù)列，那么a叫做a與b的等差中項(xiàng).例題講解[
例1]在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a15=25，求a25.
思路一：根據(jù)等差數(shù)列的已知兩項(xiàng)，可求出a1和d，然后可得出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，便可求出a25.
思路二：若注意到已知項(xiàng)為a5與a15，所求項(xiàng)為a25，則可直接利用關(guān)系式an=am+(n-m)d.這樣可簡(jiǎn)化運(yùn)算.思路三：若注意到在等差數(shù)列{an}中，a5，a15，a25也成等差數(shù)列，則利用等差中項(xiàng)關(guān)系式，便可直接求出a25的值.
[例2](1)求等差數(shù)列8，5，2…的第20項(xiàng).分析：由給出的三項(xiàng)先找到首項(xiàng)a1,求出公差d，寫出通項(xiàng)公式，然后求出所要項(xiàng)
答案：這個(gè)數(shù)列的第20項(xiàng)為-49. (2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項(xiàng)?如果是，是第幾項(xiàng)?分析：要想判斷-401是否為這數(shù)列的一項(xiàng)，關(guān)鍵要求出通項(xiàng)公式，看是否存在正整數(shù)n，可使得an=-401. ∴-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).
Ⅲ.課堂練習(xí)
1.(1)求等差數(shù)列3，7，11，……的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).
(2)求等差數(shù)列10，8，6，……的第20項(xiàng). (3)100是不是等差數(shù)列2，9，16，……的項(xiàng)?如果是，是第幾項(xiàng)?如果不是，說(shuō)明理由. 2.在等差數(shù)列{an}中，
(1)已知a4=10，a7=19，求a1與d;
(2)已知a3=9，a9=3，求a12.
�、�.課時(shí)小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式：an-an-1=d(n≥2).其次，要會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d(n≥1)，并掌握其基本應(yīng)用.最后，還要注意一重要關(guān)系式：an=am+(n-m)d的理解與應(yīng)用以及等差中項(xiàng)。
�、�.課后作業(yè)課本P39習(xí)題1，2，3，4
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案 7
一、教學(xué)目標(biāo)
熟練掌握等差數(shù)列的定義（從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)）、通項(xiàng)公式（\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)）及前\(n\)項(xiàng)和公式（\(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d\)）。
靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，如\(a_m + a_n = a_p + a_q\)（\(m + n = p + q\)）、奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系等解決問(wèn)題。
提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與邏輯推理能力，能快速準(zhǔn)確解決等差數(shù)列的基本運(yùn)算及性質(zhì)應(yīng)用類題目。
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前\(n\)項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，等差數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用。
難點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)在復(fù)雜題目中的遷移應(yīng)用，前\(n\)項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的.聯(lián)系及最值問(wèn)題。
三、教學(xué)過(guò)程
�。ㄒ唬┲R(shí)回顧（15 分鐘）
等差數(shù)列定義與公式推導(dǎo)：
引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列定義，通過(guò)不完全歸納法推導(dǎo)通項(xiàng)公式，結(jié)合倒序相加法推導(dǎo)前\(n\)項(xiàng)和公式，強(qiáng)調(diào)公式中各參數(shù)（\(a_1\)為首項(xiàng)，\(d\)為公差，\(n\)為項(xiàng)數(shù)）的含義。
舉例：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1 = 2\)，\(d = 3\)，求\(a_5\)和\(S_5\)（\(a_5 = 2 + 43 = 14\)，\(S_5 = \frac{5(2 + 14)}{2} = 40\)）。
核心性質(zhì)梳理：
性質(zhì) 1：若\(m + n = p + q\)（\(m,n,p,q \in N^*\)），則\(a_m + a_n = a_p + a_q\)；特別地，當(dāng)\(m + n = 2k\)時(shí)，\(a_m + a_n = 2a_k\)。
性質(zhì) 2：前\(n\)項(xiàng)和\(S_n = An^2 + Bn\)（\(A = \fracsss8s4ssss8{2}\)，\(B = a_1 - \fracsss8s4ssss8{2}\)），即\(S_n\)是關(guān)于\(n\)的二次函數(shù)（常數(shù)項(xiàng)為 0），可利用二次函數(shù)性質(zhì)求\(S_n\)的最值。
性質(zhì) 3：若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為\(2n\)，則\(S_{} - S_{} = nd\)，\(\frac{S_{}}{S_{}} = \frac{a_n}{a_{n + 1}}\)；項(xiàng)數(shù)為\(2n - 1\)時(shí)，\(S_{} - S_{} = a_n\)，\(\frac{S_{}}{S_{}} = \frac{n}{n - 1}\)。
�。ǘ┑湫屠}精講（25 分鐘）
基本運(yùn)算類：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3 = 7\)，\(a_5 = 13\)，求\(a_n\)和\(S_n\)。
解析：由\(a_5 - a_3 = 2d = 6\)得\(d = 3\)，\(a_1 = a_3 - 2d = 1\)，故\(a_n = 1 + (n - 1)3 = 3n - 2\)，\(S_n = \frac{n(1 + 3n - 2)}{2} = \frac{3n^2 - n}{2}\)。
性質(zhì)應(yīng)用類：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(S_{10} = 100\)，\(S_{20} = 300\)，求\(S_{30}\)。
解析：利用等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和性質(zhì) “\(S_n\)，\(S_{2n} - S_n\)，\(S_{3n} - S_{2n}\)成等差數(shù)列”，則\(2(S_{20} - S_{10}) = S_{10} + (S_{30} - S_{20})\)，代入得\(2(300 - 100) = 100 + (S_{30} - 300)\)，解得\(S_{30} = 600\)。
最值問(wèn)題類：等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1 = 25\)，\(S_9 = S_{17}\)，求前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)的最大值。
解析：由\(S_9 = S_{17}\)得\(925 + \frac{98}{2}d = 1725 + \frac{1716}{2}d\)，解得\(d = -2\)。\(S_n = 25n + \frac{n(n - 1)}{2}(-2) = -n^2 + 26n\)，當(dāng)\(n = 13\)時(shí)，\(S_n\)取得最大值\(169\)。
�。ㄈ┱n堂練習(xí)與總結(jié)（15 分鐘）
練習(xí)：
已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2 + a_8 = 18\)，求\(a_5\)（答案：9）。
等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(a_4 = 10\)，\(S_5 = 35\)，求公差\(d\)（答案：3）。
總結(jié)：強(qiáng)調(diào)等差數(shù)列解題的 “兩大核心”—— 公式應(yīng)用與性質(zhì)遷移，提醒學(xué)生遇到前\(n\)項(xiàng)和相關(guān)問(wèn)題時(shí)，可優(yōu)先考慮二次函數(shù)性質(zhì)或前\(n\)項(xiàng)和的特殊性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算。
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案 8
一、教學(xué)目標(biāo)
理解等比數(shù)列的定義（從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，且常數(shù)不為 0）、通項(xiàng)公式（\(a_n = a_1q^{n - 1}\)）及前\(n\)項(xiàng)和公式（\(S_n = \begin{cases} na_1, & q = 1 \\ \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}, & q \neq 1 \end{cases}\)）。
掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，如\(a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q\)（\(m + n = p + q\)）、前\(n\)項(xiàng)和的性質(zhì)等，能解決等比數(shù)列的綜合問(wèn)題。
培養(yǎng)分類討論思想（如\(q = 1\)與\(q \neq 1\)的區(qū)分），提升在含參數(shù)問(wèn)題中的解題嚴(yán)謹(jǐn)性。
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前\(n\)項(xiàng)和公式的應(yīng)用，等比數(shù)列性質(zhì)的.靈活運(yùn)用。
難點(diǎn)：等比數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式中\(zhòng)(q = 1\)與\(q \neq 1\)的分類討論，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，復(fù)雜數(shù)列的等比關(guān)系判斷。
三、教學(xué)過(guò)程
�。ㄒ唬┲R(shí)梳理（20 分鐘）
等比數(shù)列定義與公式：
定義強(qiáng)調(diào) “比為常數(shù)且不為 0”“首項(xiàng)不為 0”，通過(guò)不完全歸納法推導(dǎo)通項(xiàng)公式，結(jié)合錯(cuò)位相減法推導(dǎo)前\(n\)項(xiàng)和公式，重點(diǎn)分析\(q = 1\)時(shí)前\(n\)項(xiàng)和為\(na_1\)的特殊情況。
舉例：等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1 = 2\)，\(q = 2\)，求\(a_4\)和\(S_4\)（\(a_4 = 22^3 = 16\)，\(S_4 = \frac{2(1 - 2^4)}{1 - 2} = 30\)）。
核心性質(zhì)總結(jié)：
性質(zhì) 1：若\(m + n = p + q\)（\(m,n,p,q \in N^*\)），則\(a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q\)；特別地，當(dāng)\(m + n = 2k\)時(shí)，\(a_m \cdot a_n = a_k^2\)。
性質(zhì) 2：前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)的性質(zhì)：若\(q \neq -1\)，則\(S_n\)，\(S_{2n} - S_n\)，\(S_{3n} - S_{2n}\)成等比數(shù)列；若\(q = -1\)且\(n\)為偶數(shù)，則\(S_n = 0\)。
性質(zhì) 3：等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式可表示為\(a_n = Aq^n\)（\(A = \frac{a_1}{q}\)，\(A \neq 0\)，\(q \neq 0\)），即\(a_n\)是關(guān)于\(n\)的指數(shù)函數(shù)型數(shù)列。
（二）典型例題解析（25 分鐘）
基本運(yùn)算類：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2 = 6\)，\(a_4 = 24\)，求\(a_n\)和\(S_n\)。
解析：由\(\frac{a_4}{a_2} = q^2 = 4\)得\(q = 2\)或\(q = -2\)。當(dāng)\(q = 2\)時(shí)，\(a_1 = 3\)，\(a_n = 32^{n - 1}\)，\(S_n = 3(2^n - 1)\)；當(dāng)\(q = -2\)時(shí)，\(a_1 = -3\)，\(a_n = -3(-2)^{n - 1}\)，\(S_n = \frac{-3[1 - (-2)^n]}{1 - (-2)} = 1 - (-2)^n\)。
性質(zhì)應(yīng)用類：等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(S_3 = 14\)，\(S_6 = 126\)，求\(q\)和\(a_1\)。
解析：因\(S_6 \neq 2S_3\)，故\(q \neq 1\)，由\(\begin{cases} \frac{a_1(1 - q^3)}{1 - q} = 14 \\ \frac{a_1(1 - q^6)}{1 - q} = 126 \end{cases}\)，兩式相除得\(1 + q^3 = 9\)，解得\(q = 2\)，代入得\(a_1 = 2\)。
分類討論類：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)前\(n\)項(xiàng)和\(S_n = 3^n + t\)，求\(t\)的值。
解析：當(dāng)\(n = 1\)時(shí)，\(a_1 = S_1 = 3 + t\)；當(dāng)\(n \geq 2\)時(shí)，\(a_n = S_n - S_{n - 1} = 3^n - 3^{n - 1} = 23^{n - 1}\)。因\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，故\(a_1\)需滿足\(a_n\)的通項(xiàng)，即\(3 + t = 23^{0}\)，解得\(t = -1\)。
�。ㄈ┱n堂練習(xí)與作業(yè)（10 分鐘）
練習(xí)：
等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3 \cdot a_5 = 16\)，求\(a_4\)（答案：±4）。
等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)前\(n\)項(xiàng)和\(S_n = 2^n - 1\)，求\(a_5\)（答案：16）。
作業(yè)：完成等比數(shù)列專項(xiàng)練習(xí)，重點(diǎn)攻克含參數(shù)的前\(n\)項(xiàng)和問(wèn)題，標(biāo)注分類討論的關(guān)鍵步驟。
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案 9
一、教學(xué)目標(biāo)
掌握數(shù)列求和的常見(jiàn)方法，如公式法（等差、等比數(shù)列求和）、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、倒序相加法。
能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)特征，選擇合適的求和方法，準(zhǔn)確計(jì)算數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和。
提升對(duì)復(fù)雜數(shù)列的拆解能力，培養(yǎng) “轉(zhuǎn)化與化歸” 思想，將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求和。
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：錯(cuò)位相減法（適用于 “等差 × 等比” 型數(shù)列）、裂項(xiàng)相消法（適用于分式型數(shù)列）、分組求和法（適用于分段或復(fù)合型數(shù)列）的應(yīng)用。
難點(diǎn)：錯(cuò)位相減法的運(yùn)算細(xì)節(jié)（避免漏項(xiàng)、符號(hào)錯(cuò)誤），裂項(xiàng)相消法的裂項(xiàng)技巧（如\(\frac{1}{n(n + k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + k})\)），復(fù)雜數(shù)列的分組拆分。
三、教學(xué)過(guò)程
（一）方法梳理與例題精講（35 分鐘）
裂項(xiàng)相消法：適用于通項(xiàng)為分式且分母可拆分為兩個(gè)相差常數(shù)的因式的數(shù)列，核心是 “裂項(xiàng)后前后抵消”。
例：求數(shù)列\(zhòng)(\{\frac{1}{n(n + 1)}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。
解析：因\(\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\)，故\(S_n = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}\)。
拓展：若通項(xiàng)為\(\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}\)，可通過(guò)有理化裂項(xiàng)為\(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\)，求和時(shí)同樣抵消。
分組求和法：適用于通項(xiàng)可拆分為 “等差 / 等比數(shù)列 + 等差 / 等比數(shù)列” 的復(fù)合型數(shù)列，分別求和后相加。
例：求數(shù)列\(zhòng)(\{2n + 3^n\}\)的`前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。
解析：拆分為等差數(shù)列\(zhòng)(\{2n\}\)和等比數(shù)列\(zhòng)(\{3^n\}\)，分別求和：
等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n1} = \frac{n(2 + 2n)}{2} = n(n + 1)\)；
等比數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n2} = \frac{3(1 - 3^n)}{1 - 3} = \frac{3^{n + 1} - 3}{2}\)；
故\(S_n = S_{n1} + S_{n2} = n(n + 1) + \frac{3^{n + 1} - 3}{2}\)。
倒序相加法：適用于首末兩項(xiàng)之和為定值的數(shù)列，與等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路一致。
例：已知\(f(x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}}\)，求\(f(\frac{1}{n}) + f(\frac{2}{n}) + \dots + f(\frac{n - 1}{n})\)（\(n \in N^*\)）。
解析：先證\(f(x) + f(1 - x) = 1\)（代入化簡(jiǎn)可得），設(shè)\(S = f(\frac{1}{n}) + f(\frac{2}{n}) + \dots + f(\frac{n - 1}{n})\)，
倒序得\(S = f(\frac{n - 1}{n}) + f(\frac{n - 2}{n}) + \dots + f(\frac{1}{n})\)，
兩式相加得\(2S = (n - 1)1\)，故\(S = \frac{n - 1}{2}\)。
�。ǘ┱n堂練習(xí)與總結(jié)（10 分鐘）
練習(xí)：
求數(shù)列\(zhòng)(\{\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和（答案：\(\frac{n}{2n + 1}\)）。
求數(shù)列\(zhòng)(\{n + 2^{n - 1}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和（答案：\(\frac{n(n + 1)}{2} + 2^n - 1\)）。
總結(jié)：強(qiáng)調(diào) “通項(xiàng)定方法”—— 先分析通項(xiàng)結(jié)構(gòu)，再選擇對(duì)應(yīng)求和策略，提醒錯(cuò)位相減時(shí)注意符號(hào)和最后一項(xiàng)的處理，裂項(xiàng)時(shí)確保系數(shù)準(zhǔn)確。
高三數(shù)學(xué)數(shù)列教案 10
一、教學(xué)目標(biāo)
掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法，如觀察法、累加法、累乘法、構(gòu)造法（構(gòu)造等差 / 等比數(shù)列）、利用\(a_n\)與\(S_n\)的關(guān)系（\(a_n = \begin{cases} S_1, & n = 1 \\ S_n - S_{n - 1}, & n \geq 2 \end{cases}\)）。
能根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系（如\(a_{n + 1} = a_n + f(n)\)、\(a_{n + 1} = a_n \cdot f(n)\)、\(a_{n + 1} = pa_n + q\)），選擇合適的方法求通項(xiàng)公式。
提升對(duì)遞推關(guān)系的轉(zhuǎn)化能力，培養(yǎng) “化未知為已知” 的解題思想，突破復(fù)雜遞推數(shù)列的通項(xiàng)求解難點(diǎn)。
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：累加法（適用于\(a_{n + 1} - a_n = f(n)\)型）、累乘法（適用于\(\frac{a_{n + 1}}{a_n} = f(n)\)型）、構(gòu)造法（適用于\(a_{n + 1} = pa_n + q\)型）、\(a_n\)與\(S_n\)關(guān)系的應(yīng)用。
難點(diǎn)：構(gòu)造法中輔助數(shù)列的設(shè)計(jì)（如將\(a_{n + 1} = pa_n + q\)轉(zhuǎn)化為\(a_{n + 1} + k = p(a_n + k)\)），含\(S_n\)與\(a_n\)混合遞推關(guān)系的'化簡(jiǎn)。
三、教學(xué)過(guò)程
�。ㄒ唬┓椒ㄊ崂砼c例題精講（30 分鐘）
觀察法：適用于給出前幾項(xiàng)的數(shù)列，通過(guò)分析項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的規(guī)律推導(dǎo)通項(xiàng)。
例：已知數(shù)列前 5 項(xiàng)為\(2, 5, 10, 17, 26\)，求通項(xiàng)公式。
解析：項(xiàng)數(shù)\(n = 1\)時(shí)為\(1^2 + 1\)，\(n = 2\)時(shí)為\(2^2 + 1\)，故\(a_n = n^2 + 1\)。
利用\(a_n\)與\(S_n\)的關(guān)系：核心是注意\(n = 1\)時(shí)\(a_1 = S_1\)，\(n \geq 2\)時(shí)\(a_n = S_n - S_{n - 1}\)，最后驗(yàn)證\(a_1\)是否符合\(n \geq 2\)時(shí)的通項(xiàng)。
例：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n = n^2 - 2n + 1\)，求\(a_n\)。
解析：當(dāng)\(n = 1\)時(shí)，\(a_1 = S_1 = 1 - 2 + 1 = 0\)；
當(dāng)\(n \geq 2\)時(shí)，\(a_n = S_n - S_{n - 1} = (n^2 - 2n + 1) - [(n - 1)^2 - 2(n - 1) + 1] = 2n - 3\)；
驗(yàn)證：\(n = 1\)時(shí)\(21 - 3 = -1 \neq 0\)，故\(a_n = \begin{cases} 0, & n = 1 \\ 2n - 3, & n \geq 2 \end{cases}\)。
累加法：適用于遞推關(guān)系為\(a_{n + 1} - a_n = f(n)\)（\(f(n)\)可求和）的數(shù)列，累加消去中間項(xiàng)。
例：已知\(a_1 = 1\)，\(a_{n + 1} = a_n + 2n\)，求\(a_n\)。
解析：由遞推得\(a_2 - a_1 = 21\)，\(a_3 - a_2 = 22\)，…，\(a_n - a_{n - 1} = 2(n - 1)\)，
累加得\(a_n - a_1 = 2[1 + 2 + \dots + (n - 1)] = 2\frac{(n - 1)n}{2} = n(n - 1)\)，
故\(a_n = 1 + n(n - 1) = n^2 - n + 1\)。
累乘法：適用于遞推關(guān)系為\(\frac{a_{n + 1}}{a_n} = f(n)\)（\(f(n)\)可求積）的數(shù)列，累乘消去中間項(xiàng)。
例：已知\(a_1 = 2\)，\(\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n}{n + 1}\)，求\(a_n\)。
解析：由遞推得\(\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{3}\)，…，\(\frac{a_n}{a_{n - 1}} = \frac{n - 1}{n}\)，
累乘得\(\frac{a_n}{a_1} = \frac{1}{2}\frac{2}{3}\dots\frac{n - 1}{n} = \frac{1}{n}\)，
故\(a_n = 2\frac{1}{n} = \frac{2}{n}\)。
構(gòu)造法（構(gòu)造等比數(shù)列）：適用于遞推關(guān)系為\(a_{n + 1} = pa_n + q\)（\(p \neq 1\)，\(q \neq 0\)）的數(shù)列，設(shè)\(a_{n + 1} + k = p(a_n + k)\)，求\(k\)后構(gòu)造等比數(shù)列。
例：已知\(a_1 = 1\)，\(a_{n + 1} = 2a_n + 1\)，求\(a_n\)。
解析：設(shè)\(a_{n + 1} + k = 2(a_n + k)\)，展開(kāi)得\(a_{n + 1} = 2a_n + k\)，對(duì)比遞推式得\(k = 1\)，
故\(\{a_n + 1\}\)是以\(a_1 + 1 = 2\)為首項(xiàng)、2 為公比的等比數(shù)列，
因此\(a_n + 1 = 22^{n - 1} = 2^n\)，即\(a_n = 2^n - 1\)。
�。ǘ┱n堂練習(xí)與總結(jié)（15 分鐘）
練習(xí)：
已知\(S_n = 2a_n - 1\)，求\(a_n\)（答案：\(a_n = 2^{n - 1}\)）。
已知\(a_1 = 3\)，\(a_{n + 1} = a_n + 3n\)，求\(a_n\)（答案：\(a_n = \frac{3n(n + 1)}{2}\)）。
總結(jié)：強(qiáng)調(diào) “遞推定方法”—— 先判斷遞推關(guān)系類型，再選擇對(duì)應(yīng)求解策略；利用\(a_n\)與\(S_n\)關(guān)系時(shí)務(wù)必驗(yàn)證\(n = 1\)的情況，構(gòu)造法關(guān)鍵是找到合適的輔助數(shù)列。
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